数量关系之余数问题

　　在整数的除法中，有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。余数问题一直是数量关系考试学习中的难点，尤其是余数问题涉及到除法运算。除法运算在很多学习者眼中是比较麻烦而且容易出错的，但其实在真正考试中遇见余数问题一般用代入排除法。

　　代入排除法是如何运用在余数问题中的，通过下面的例子来说明：

　　【例1】疫情期间，爱心人士向某街道捐赠了两箱防疫物资，内装物资件数相同。街道将两箱物资分别给了甲、乙两个工作组，其中甲工作组除1人拿到4件物资外，其余每人各分得5件;乙工作组除1人拿到6件物资外，其余每人各分得7件。已知每箱物资数量在50到100件之间，则每箱装有防疫物资(  )件。

　　A.58 B.62

　　C.69 D.74

　　【答案】C

　　【解析】第一步，本题考查余数问题。

　　第二步，甲组除1人拿到4件物资外，其余人都拿5件，说明物资总数除以5应余4，代入选项验证，排除A和B选项;乙组除1人拿到6件物资外，其余人都拿7件，说明物资总数除以7应该余6，代入C和D选项验证，只有C选项满足。

　　因此，选择C选项

　　【例2】某镇政府办公室集中采购一批打印纸，分发给各个职能部门。如果按每个部门4包分发，则多6包;如果按每个部门5包分发，则有1个部门只能分到3包。这批打印纸的数量是：

　　A.38包   B.36包

　　C.40包   D.42包

　　【答案】A

　　【解析】第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。

　　第二步，代入A选项，38÷4=8……6，即8个职能部门，每个部门得到4包还剩6包;38÷5=7……3，即8个职能部门，其中7个部门每个部门得到5包，还剩一个部门分到3包;两个条件均满足，满足题意;代入B选项，36÷4=9，不满足题意，排除;代入C选项，40÷4=10，不满足题意，排除;代入D选项，42÷4=9……6，42÷5=8……2，不满足题意，排除。

　　因此，选择A选项。

　　可见，代入排除法可以解决绝大多数余数问题。但余数问题其实还常用同余口诀来解题。

　　“余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。”

　　举例来说：

　　(1)余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1;

　　(2)和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7;

　　(3)差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3。

　　选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件。

　　前面例题1和例题2均可以利用同余口诀来解决。

　　以例题1说明：“甲工作组除1人拿到4件物资外，其余每人各分得5件;乙工作组除1人拿到6件物资外，其余每人各分得7件”，转化一下信息即：一个数除以5余4，除以7余6，差同取-1，除数的最小公倍数是35，总体表示为35n-1，当n=2时，即为正确选项C。

　　以例题2说明：“如果按每个部门4包分发，则多6包;如果按每个部门5包分发，则有1个部门只能分到3包”，转化一下信息即：一个数除以4余2(题目中多6包，还能除以一次4)，除以5余3，差同取-2，除数的最小公倍数为20，总体表示为20n-2，当n=2时，即为正确选项A。

　　无论是代入排除法还是同余口诀，运用熟练余数问题就不是难题。在考试中，考生可以因题制宜，优先选择代入排除法，但是同余口诀的原理也应当有所了解。