一个木匠想制作一个桌面是正八边形的餐桌，已知有一块边长为1.5

　　题型：单选题（分值：1）

　　一个木匠想制作一个桌面是正八边形的餐桌，已知有一块边长为1.5米的正方形木板，如果木匠用这块木板做餐桌的桌面，那么需要裁去的总面积最小约为多少平方米？（ $\sqrt{2}取1.4$ ）

　　A.0.31

　　B.0.39

　　C.0.48

　　D.0.57

　　答案：B

　　解析：

　　第一步，本题考查平面几何问题。

　　第二步，需要裁去的总面积最小，则需要制作面积最大的正八边形。如下图所示：设面积最大的正八边形的边长为x，正八边形的内角为 $\frac{8-2}{8}\times {180°}＝135°$ ，因此需要裁去的4个三角形是等腰直角三角形，且斜边长度为正八边形的边长x，那么等腰三角形的直角边长度为 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ，1个等腰直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}$ ×（ $\frac{x}{\sqrt{2}}）^2$ ＝ $\frac{x^2}{4}$ ，4个等腰直角三角形的面积为 $x^2$ 。

　　第三步，正方形边长1.5＝x＋2× $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ＝（1＋ $\sqrt{2}$ ）x，x＝ $\frac{1.5}{1＋\sqrt{2}}$ ，需要裁去的4个等腰直角三角形的面积为 ${x^2＝（\frac{1.5}{1＋\sqrt{2}}）}^2＝\frac{2.25}{3＋2\sqrt{2}}\approx \frac{2.25}{5.8}\approx 0.39$ 平方米。

　　因此，选择B选项。

　　来源：2024年安徽省公务员考试模考大赛第四十五期

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