浅析容斥问题中具体不同题型的解题思路

　　容斥问题在学习中会具体分为两个大类：两集合容斥问题和三集合容斥问题。对于两集合容斥问题，其核心公式为A+B-A∩B=总数-AB都不满足的个数；对于三集合容斥问题，其核心公式包含1.三集合容斥问题的标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-ABC均不满足的个数；2.三集合容斥问题的非标准型公式：总数-ABC均不满足的个数＝A＋B＋C-只满足两个条件的-2×三个条件均满足的。对于容斥问题， 整体的考查思路可分为两个大类，1.当题目中涉及的问题量均为公式中的已存在的量，那么根据公式代入数据即可求解；2.当题目中的问题量涉及“只满足一个条件的”部份量值，因为在公式中未出现这一部分，公式在这一类题型中用处不大，需通过画图法进行解答，对于画图法，整体在标数过程中的要求为由内而外，先确定多次重叠部分的值再依次向外判断各个部分的值。下面通过几个例题给大家展现它的不同考法，希望大家对这个考点有更深的理解。

　　【例一】某社区积极为某受灾地区捐款捐物，其中30%的人员捐献了物品，70%的人员捐了款，总计有80%的人员进行了捐赠。问该社区既捐物品又捐款的人员占该社区人员的比例为：

　　A.15% B.20%

　　C.21% D.25%

　　分析思路：因为题中将进行了捐赠的人分成了两个部分：捐献了物品的人和捐了款的人，所以本题考查容斥问题中的两集合容斥问题。此题未给定任何一个量，因此可以使用赋值法求解，赋值社区共10人，因此捐献物品的有3人，捐款的有7人，进行捐赠了的有8人，根据两集合容斥原理公式A+B-A∩B=总数-AB都不满足的个数，代入数据有：3+7-既捐物品又捐款的人数=8，可求得既捐物品又捐款的有2人，占总人数的20%。因此，选择B选项。

　　【例二】如图所示：A、B、C分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部分的面积是多少？

　　A.15 B.16

　　C.17 D.18

　　分析思路：根据题意或者题中给出的图可知，本题中分为了A、B、C三个集合，且问题中阴影部分的面积对应的为三集合容斥问题公式中A∩B∩C或三个条件均满足的的部分，因此这道题根据题目中的具体数据依靠公式代入即可。依据“A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35”，运用三集合容斥问题标准公式（A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-ABC均不满足的个数）进行求解，代入数据，得280＝60＋170＋150－22－60－35＋阴影部分的面积，解得阴影部分的面积为17。

　　因此，选择C选项。

　　【例三】

　　某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？

　　A.12 B.14

　　C.24 D.28

　　分析思路：本题将机关内的人分成了三个集合，分别是报名参加第一场讲座的、报名参加第二场讲座的、报名参加第三场讲座的，因此这道题考察三集合容斥问题。题中的问题为没有报名参加其中任何一场讲座的人数，即都不满足的人数，公式求解即可。依据“只报名参加两场讲座的有30人”，这是三集合容斥问题非标准公式中的“只满足两个条件的”部分，运用非标准公式:总数-ABC均不满足的个数＝A＋B＋C-只满足两个条件的-2×三个条件均满足的求解，代入数据得42＋51＋88－30－2×12＝139－没有报名参加其中任何一场讲座的人数，解得没有报名参加其中任何一场讲座的人数为12。

　　因此，选择A选项。

　　【例四】

　　某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（）人？

　　A.1 B.2

　　C.3 D.5

　　分析思路：本题将工作组内的外国人分成了三个集合，分别是会说英语的、会说法语的和会说西班牙语的，因此这道题考察三集合容斥问题。题中的问题为只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少，问题中涉及到了只满足一个条件的人具体有多少，可知这道题需要通过画图法进行求解。根据题中条件标数后得到下图。

　　因此，只会说一种语言的人为2+2+1=5人，一种语言都不会说的人为2人，多3人，答案选择C。