线性代数——向量空间(专业科目数学3+化学)

　　主要测查应试者对向量组的线性相关性和秩、线性方程组解的结构、向量空间、欧几里得(Euclid)空间的掌握程度。

　　要求应试者理解 n 维向量和线性表示(或线性组合)的概念，线性表示的判别准则，向量组线性相关、线性无关的概念，线性相关性的性质及判别准则，向量组等价的概念，向量组等价的判别准则，向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基础解系与通解，了解 n 维向量空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标、过渡矩阵和基变换、坐标变换公式、内积、正交向量组、标准正交向量组、标准正交基、正交矩阵等概念及其性质，掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法，求线性方程组通解的方法，线性无关向量组正交规范化的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法。

　　本章内容主要包括向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组解的结构、向量空间、n 维欧几里得空间。

　　第一节 向量组及其线性相关性

　　一、n 维向量

　　n 维向量;分量;零向量。

　　二、向量组的线性表示

　　矩阵的列向量组、行向量组;线性表示(或线性组合);线性表示的充要条件;基本向量组。

　　三、向量组的线性相关性

　　线性相关、线性无关;线性无关的充要条件、充分条件、必要条件;线性相关与线性表示的内在联系;初等行(列)变换与矩阵列(行)向量组的线性相关性。

　　第二节 向量组的秩

　　一、等价向量组

　　两个向量组的等价;一个向量组被另一个向量组线性表示的充要条件、充分条件、必要条件;向量组等价的充要条件。

　　二、向量组的极大线性无关组及秩

　　向量组的极大线性无关组;极大线性无关组的等价定义;矩阵的列秩、行秩与秩的关系。

　　第三节 线性方程组解的结构

　　一、齐次线性方程组解的结构

　　齐次线性方程组的解对线性运算的封闭性;基础解系;求基础解系的方法。

　　二、非齐次线性方程组解的结构

　　导出方程组;非齐次线性方程组的通解。

第四节 向量空间

　　一、向量空间的概念

　　向量空间;零空间;生成的向量空间;子空间。

　　二、向量空间的基与维数

　　基;维数;r 维向量空间;自然基;坐标。

　　第五节 n 维欧几里得空间

　　一、向量的内积

　　实向量的内积;n 维欧几里得空间。

　　二、正交向量组

　　正交向量组;标准正交向量;正交向量组的性质;正交基;标准正交基;格拉姆—施密特正交化方法。

　　三、正交矩阵

　　正交矩阵;正交矩阵的充要条件。