牛吃草问题

　　“牛吃草问题”是一种经典的数学问题，这类问题通过构建数学模型来解决实际生活中的资源消耗与增长问题，尤其是与草地、牛群等资源管理相关的场景。虽然名为“牛吃草问题”，但这类问题的核心在于理解和应用增长率、消耗率以及初始量等概念，解决方式往往涉及线性方程。

　　一、知识点

　　典型题干形式：一片牧场，N1头牛吃T1天，N2头牛吃T2天，问多少头牛T3天吃完。

　　基本公式：，Y是指原有的工作总量，N是指牛的数量且通常默认单个个体效率为1，x是指草的自然增长率，T是指所有的存量消耗完所需要的时间

　　二、真题解析

　　【例1】某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？

　　A.4

　　B.5

　　C.6

　　D.7

　　【答案】D

　　【解析】

　　第一步，本题考查牛吃草问题，用公式法解题。

　　第二步，设河道原来的淤泥堆积量为y，每天上游河水带来新的淤泥量为x，根据牛吃草问题公式：y＝（n-x）×t，可列方程组：y=（1-x）×300，y=（2-x）×100，解得x=0.5，y=150。

　　第三步，设要想25天内完成清淤工作至少需要n台挖沙机，可列方程：150＝（n-0.5）

　　×25，解得n＝6.5，即至少需要7台挖沙机。

　　因此，选择D选项。

　　【例2】某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定量的自然损

　　耗，如果提货方每天运走1.5吨产品，则50天运完；如果提货方每天运走2吨产品，则

　　40天运完。那么这批农副产品有:

　　A.75吨

　　B.80吨

　　C.100吨

　　D.110吨

　　【答案】C

　　【解析】第一步，本题考查牛吃草问题。

　　第二步，根据牛吃草公式y=(N-x)×T，有y=(1.5-x)×50①，y=(2-x)×40②。联立①②解得x=-0.5，y=100，即这批农副产品共有100吨。

　　因此，选择C选项。

　　【例3】某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运往买

　　方仓库。如每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货。问x可能的最小值为:

　　A.18

　　B.19

　　C.20

　　D.21

　　【答案】A

　　【解析】第一步，本题考查牛吃草问题。

　　第二步，设车间每天生产效率为a，原有库存为b，赋货车每辆运1，由题意可列式，解得a=8，b=80，则最终运完存货可得（x-8）x4+(x-8x1.5)x7≥80，解得x≥17.8，最小取整x=18。